Aqui una pequeña explicación de como es que sale lo que les voy a compartir en esta ocasión
Tenemos 4 ejemplos de ecuaciones dos incognitas que resolveremos en Excel, en lo personal hacer este tipo de formatos en las hojas de cálculo, es más fácil y práctioco, espero y les sea útil.
EJEMPLOS
1.
2x+3y=5
4x-3y=1
Primero se acomodan las ecuaciones, despues se despejan, esto se refiere a que todos los termino pasan al lado derecho para dejar a la y "sola" Se hace la tabulación de las coordenadas, y con las coordenadas que nos resultan de la tabulación, se puede graficar y encontramos el punto de intersección, que en este caso se puede ver muy bien que es entre (1,1) pero en otros caso que la vsta no es muy precisa, existe el metodo de Cramer, que ese si es preciso, y que en efecto la solucion si es (1,1) 2. -3x+4y=7 5x+3y=-2
Ahora el punto de interseccion se encuentra en las coordenadas (-1,1) 3. 4x+2y=-3 6x+3y=-2
Y el punto de intersección? En este problema no hay punto de intersección porque las rectas no se cruzan, y porque no se cruzan? Porque viendo el método de Cramer el Dp (Determinante prinicipal) es igual a 0 y para la solución se tiene que dividir el determinante x o y (segun sea el caso) entre el determinante principal y en esta ocasion es imposible, por lo que no hay solución. 4. x+3y=-2 -2x-6y=4
Como vimos anteriormente el punto de equilibrio es el balance entre los articulos que se fabrican y los que se venden, para que no haya ganancias ni perdidas.
Primera parte En la fábrica de playeras "Marimar" se tienen costos fijos de $200,000 mensuales y el costo por cada camiseta es de $70. Si el precio de venta es de $120, determina el punto de equilibrio
Planteamiento...
Primero hay que razonar sobre lo que nos estan pidiendo, para eso emplearemos un pequeño cuadro donde administraremos la informacion que nos brinda el problema.
Ya que sabemos que nos pide el problema, hay que formular las ecuaciones que nos ayudaran a sacar los valores que nos piden
Costo total = Costo fijo + Costo unitario x Numero de piezas
Ct = Cf + Cu x Np Ct = 200,000 + 70 (x) Ct = 70x + 200,000 Ingresos = Precio de venta x Numero de piezas I = Pv x Np I = 120 (x) I = 120x Ahora con las ecuaciones dadas, graficamos para encontrar el punto de equilibrio
Como se puede apreciar, el punto de equilibrio se situa exactamente en las 4000 piezas. Segunda parte
Debido a problemas con la calidad el costo por pieza se incrementa a $95. Si el pronostico de ventas es de 4,500 piezas por mes ¿Es posible mantener el precio de venta? En caso contrario, cuál debe ser el nuevo precio de venta. Costo total = Costo fijo + Costo unitario x Numero de piezas
Ct = Cf + Cu x Np Ct = 200,000 + 95 (x) Ct = 95x + 200,000 Ingresos = Precio de venta x Numero de piezas
I = Pv x Np I = 120 (x) I = 120x
En este caso, las rectas no se cruzan, eso quiere decir que no hay punto de equilibrio. Y por que pasa esto? porque el precio de venta esta muy bajo, la solución seria aumentarlo. El nuevo precio de venta es: $145
Con el nuevo precio de venta, ya se aprecia que el punto de equilibrio se encuentra en las 4000 piezas. Tercera parte Mediante la compra de una máquina es posible reducir el costo por pieza a $61, pero invirtiendo $50,000 más. Si el pronóstico de ventas es el mismo y el precio que se aumentó se mantiene, determina el punto de equilibrio. Ct = Cf x Np Ct = 250,000 + 61 (x) Ct = 61x + 250,000 I = Pv x Np I = 145 (x) I = 145x
Ahora el punto de equilibrio esta mas abajo de lo normal porque déspues de aumentar el costo de venta, este nos quedo un poco alto debido al cambio de costos fijos y costos unitarios, por eso es conveniente reducirlo a su precio original masomenos. A cuánto es posible reducir el precio de venta?
El nuevo precio de venta es: $125
El nuevo punto de equilibrio en esta gráfica se ubica masomenos en 3,800
En lo tocante a la ciencia la autoridad de un millar no es superior al humilde razonamiento de una sola persona - Galileo Galilei
En este problema hacemos referencia al punto de equilibrio entre los costos para producir un articulo y el precio de venta Se le llama punto de equilibrio a la cantidad de articulos que deben producirse y venderse para que no haya perdidas ni ganancias.
En la fabrica de computadoras HAL-9000 se incurre en costos fijos de $750,000 mensuales para fabricar el modelo Netbook-2012, la cuál tiene un costo unitario de manufactura de $2,800. Si cada unidad se vende al distribuidor en $3,500 ¿Cuál es el punto de equilibrio? Planteamiento Comprender el problema... Identificar las cantidades desconocidas
Numero de computadoras que se van a fabricar y vender, costo de fabricación e ingreso.
Datos disponibles
Costo fijo= $750,000/mes
Costo unitario=2,800
Precio de venta=3,500
Relación entre cantidades desconocidas y datos
Costo total= costo fijo + costo variable (Costo unitario x No. de piezas)
Ingresos= precio de venta x No. de piezas
Punto de equilibrio: Costo total=Ingresos
En esta primera parte lo que tenemos que hacer es encontrar el punto de equilibrio (donde no hay perdidas ni ganancias)
Para sacar dicho punto de equilibrio tenemos que generar un par de ecuaciones...
Obtención de la primera ecuación
Costo total=Costo fijo + costo variable Ct= Cf+ Costo Unitario x No. de piezas Ct= Cf+ Cu x Np y = 750,000+2,800(x) y = 750,000+2,800x
Obtención de la segunda ecuación
Ingreso=Precio de venta x No. de piezas I=Pv x Np I=3,500 (x) I=3,500x
Ya teniendo esas ecuaciones podemos proceder a resolverlas...
Efectuando las ecuaciones los resultados son los siguientes:
En la tabulación de los resultados se ve que entre el 1000 y 1100 esta el punto de equilibrio, lo cuál se puede constatar en la gráfica al ver que las rectas del costo total y el ingreso se cruzan casi al llegar al 1100, así que el punto de equilibrio se encuentra masomenos en el 1070.
Segunda parte Debido a los problemas de operación el costo unitario de producción de la netbook-2012 aumentó a $3,020. Si no se desea alterar el precio de venta, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio? Si el costo fijo se mantiente constante y el pronóstico de ventas indica que se venderán 1,500 piezas por mes, ¿Es posible mantener el precio de venta?
Planteamiento En esta parte del problema, se presenta el inconveniente de producción por lo que hay que subir el costo unitario a $3,020, ahora tomando esa nueva cantidad tenemos que sacar el nuevo punto de equilibrio, pero lo que menciona a continuación es que si tenemos el promedio de ventas en 1,500, se podra mantener el precio de venta? Hay que averiguarlo...
Según los resultados el punto de equilibrio va más allá de las 1,500 piezas (promedio de venta) por lo que el costo de venta no se puede mantener, hay que establecer uno nuevo.
El nuevo costo de venta sera de $3,700
Con el nuevo costo de venta ahora si respetamos el promedio de venta de las 1,500 piezas y las rectas en la gráfica se cruzan en las 1100, lo cuál indica que ahi esta el punto de equilibrio
Tercera parte
Uno de los componentes de la Netbook-2012 se compra a un proveedor internacional. El jefe de ingeniería propone que, si se deja de comprar dicho componente para fabricarlo dentro de la empresa, se aumenta el costo fijoa $850,000 pero se reduce el costo unitario de producción a $2,700. Si la demanda pronosticada sigue siendo de $1500 piezas mensuales ¿Es conveniente llevar a cabo el cambio propuesto?
Planteamiento Hay que encontrar el nuevo punto de equilibrio para ver si es conveniente afectuar el cambio propuesto
El nuevo punto de equilibrio con el cambio que propueso el jefe de ingeniería seria entre las 700 piezas por mes, lo que indica que estamos dando el producto muy caro, lo conveniente seria reducir el costo de venta.
Planteamiento Con el nuevo costo unitario, es posible reducir támbien el costo de venta El nuevo costo de venta sera $3,400
Con el nuevo costo de venta, el punto de equilibrio esta aproximadamente en las 1200 piezas, lo cuál cumple con el promedio de 1,500
En el siguiente enlace encontraras el documento de Excel, en donde vaciamos la información y nos da el punto de equilibrio.
Las primeras apariciones
en textos antiguos de “ecuaciones” datan del 1800 al 1600 a.C. en Mesopotamia,
y traen algunos métodos para resolver ecuaciones lineales, aun que claro, la
notación y forma de resolución de antaño dista una infinidad de la que nosotros
poseemos actualmente.
Desde el siglo XVII a.c
los matematicos de Mesopotamia y babilonia ya sabían resolver ecuaciones de
primero y segundo grado. En el siglo XVI a.c los egipcios desarrollaron un
algebra muy elemental que usaron para resolver problemas muy cotidianos que tenían
que ver con el reparto de cosechas y de materiales.
Habrían de
pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que data
el Papiro de Rindh,
escrito en Egipto. En este texto casi puramente matemático se
muestra un método de resolución general de ecuaciones de primer grado. La humanidad acaba de
dar un paso, el primero, para dar la solución general de una ecuación para
cualquier grado. Este papiro muestra además que los egipcios podía
resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado, aunque aun desconocían un
método general de resolución, que será el siguiente paso de nuestra historia. Pasarían
nada menos que 1500 años, hasta que un griego, Diofanto de Alejandría, diera con la
fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado( la formula que
se encuentra arriba), además introdujo
un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incognita con un signo
que es la primera silaba de la palabra griega arithmos que significa numero.
Entonces a la formula de
Diofanto de Alejandria se le llamo formula general , porque como ya se menciono
anteriormente, sirve para resolver casi todoas las ecuaciones de segundo grado,
y caracteriza asi: donde x representa la variable y, a, b y c
son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b
el coeficiente lineal y c es el término independiente.
aunque el
método de Diofanto sólo proporcionaba una de las soluciones, aun en el caso de
que las dos soluciones sean positivas, mas tarde el matemático judeo español Abraham BarHiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas
ecuaciones. Y después la introdujo a Europa. Explicación sobre la obtención de la formula general
Esta formula se puede emplear en situaciones, tales como la que se muestra en el siguiente problema: Toño realizó un viaje de 4 horas para visitar a su novia Pamela. Recorrió 126 km en motocicleta y 230 km en automóvil. La velocidad en el auto fue 8km/h mayor que en la motocicleta. Determina la velocidad y el tiempo en cada vehiculo A continuación acomodaremos la informacion de forma que sea más fácil el entender que es lo que nos estan pidiendo.
Ya tenemos las cantidades desconocidas y las expresiones con las que las podemos resolver
Es de suma importancia agregar información complementaria ya que pueden ayudar a la hora de plantear la ecuación En esta parte, ya tenemos la ecuacion con la que encontraremos la velocidad en la moto (incognita) Explicacion de la obtención de la ecuación: Tomamos los tiempos tanto en moto como en vehiculo, los sumamos y lo igualamos a 4, que es el tiempo total del viaje. Para deshacer la suma de fracciones, aplicamos un método muy sencillo que consiste en multiplicar todo por las velocidades x(x+8) despues de eso, lo demas es afectuar la dicha multiplicación y eliminar terminos semejantes, de ese modo obtenemos la ecuación.
Como resultado tenemos una ecuación de segundo grado, ahora emplearemos la formula general que mencionamos al principio para resolverla.
Aplicación de la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado
Aplicaremos la formula general para resolver la ecucación que se nos presentó en el resultado del problema.
Al momento de representar el resultado en una gráfica, queda de la siguiente manera.
Ejemplos donde podemos aplicar la formula general:
1.
Gráfica
2.
Gráfica
3.
Gráfica
4.
Gráfica
5.
Gráfica
Otros ejemplos extraidos de libros y paginas de internet, en los cuales támbien los podemos resolver por medio de la formula general
Ejemplos extraidos del libro "Algebra" - Rees,Sparks y de la pag www.profesorenlinea.cl
1.
Gráfica
2.
Gráfica
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Gráfica
4.
Gráfica
5.
Gráfica
En el siguiente enlace podran encontrar el archivo de excel, con el que pudimos resolver las anteriores ecuaciones.
